高中数学折线函数

折线函数是高中数学中的一个重要概念，通常与绝对值函数结合考查，主要考察学生对绝对值定义、图像变换以及函数、方程、不等式的综合运用能力，尤其是分类讨论思想的运用。

折线函数典型问题

典例1

已知函数 \（ f（x） \）是定义在 \（ \mathbb{R} \）上的奇函数，当 \（ x \geq 0 \）时，\（ f（x） = \frac{1}{2} （|x - a| + |x - 2a| - 3|a|） \）。若集合 \（ \{ x | f（x - 1） - f（x） > 0, x \in \mathbb{R} \} = \varnothing \），求实数 \（ a \）的取值范围。

答案：

\[ a \leq 16 \]

解析：

由于 \（ \{ x | f（x - 1） - f（x） > 0, x \in \mathbb{R} \} = \varnothing \），则 \（ f（x - 1） \leq f（x） \）恒成立。

当 \（ a \leq 0 \）时，\（ f（x） \）是减函数，满足 \（ f（x - 1） \leq f（x） \）。

当 \（ a > 0 \）时，需满足 \（ -3a + 1 \geq 3a \），即 \（ 0 < a>

综上，实数 \（ a \）的取值范围是 \（ a \leq 16 \）。

典例2

已知函数 \（ y = f（x） - 2x + |ax - 2a| \）在区间 \（ [-3, 4] \）上有 10 个零点（互不相同），求实数 \（ a \）的取值范围。

答案：

\[ a \in （-70, 4] \]