判别式小于0的一元二次方程根如何求解？

一元二次方程是数学中的基础概念，其根的求解方法也是大家所关注的。其中，判别式小于0的一元二次方程根的求解是很多同学在学习过程中遇到的一个难题。本文将详细介绍如何求解这类方程的根，并辅以案例进行分析。

一、一元二次方程的基本形式

一元二次方程的一般形式为：

ax² + bx + c = 0

其中，a、b、c为实数且a ≠ 0。方程的根可以通过求解以下公式得到：

x = (-b ± √Δ) / (2a)

其中，Δ（Delta）为判别式，其计算公式为：

Δ = b² - 4ac

二、判别式小于0的方程根的求解

当判别式Δ小于0时，即b² - 4ac < 0，此时方程无实数根。然而，我们可以通过以下方法求解这类方程的根：

当判别式Δ小于0时，方程的根为复数。复数可以表示为实部和虚部的形式，即：

x = a + bi

其中，a、b为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。

为了求解虚根，我们可以将方程两边同时乘以-1，得到：

-ax² - bx - c = 0

接着，我们可以将方程两边同时除以a，得到：

-x² - (b/a)x - (c/a) = 0

此时，我们可以将方程视为一个关于x的一元二次方程，并按照上述方法求解其根。求解得到的结果即为原方程的虚根。

当判别式Δ小于0时，方程的根为共轭虚根。共轭虚根指的是两个虚根的实部相同，虚部互为相反数。例如，如果方程的根为x₁ = a + bi和x₂ = a - bi，则它们互为共轭虚根。

为了求解共轭虚根，我们可以将方程两边同时乘以-1，得到：

-ax² - bx - c = 0

接着，我们可以将方程两边同时除以a，得到：

-x² - (b/a)x - (c/a) = 0

此时，我们可以将方程视为一个关于x的一元二次方程，并按照上述方法求解其根。求解得到的结果即为原方程的共轭虚根。

三、案例分析

案例1：求解方程x² + 3x + 4 = 0

首先，我们计算判别式Δ：

Δ = 3² - 4 × 1 × 4 = 9 - 16 = -7

由于Δ小于0，所以方程无实数根。接下来，我们求解虚根：

x = (-3 ± √(-7)) / (2 × 1) = (-3 ± √7i) / 2

因此，方程的虚根为x₁ = (-3 + √7i) / 2和x₂ = (-3 - √7i) / 2。

案例2：求解方程x² - 2x + 5 = 0

同样，我们计算判别式Δ：

Δ = (-2)² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16

由于Δ小于0，所以方程无实数根。接下来，我们求解共轭虚根：

x = (2 ± √(-16)) / (2 × 1) = (2 ± 4i) / 2

因此，方程的共轭虚根为x₁ = 1 + 2i和x₂ = 1 - 2i。

总结

判别式小于0的一元二次方程根的求解方法主要包括求解虚根和共轭虚根。通过以上分析和案例，相信大家对这类方程的求解有了更深入的了解。在实际学习中，希望大家能够熟练掌握这类方程的求解方法，为后续的学习打下坚实的基础。